यदि n geq 1 के लिए,P_n = intlimits_1^e (log x | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$. माना $\log x = t$,तब $x = e^t$ और $dx = e^t \, dt$. जब $x = 1$,तब $t = 0$ और जब $x = e$,तब $

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$-9e$

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(D) दिया गया है $P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$. माना $\log x = t$,तब $x = e^t$ और $dx = e^t \, dt$. जब $x = 1$,तब $t = 0$ और जब $x = e$,तब $t = 1$. अतः,$P_n = \int\limits_0^1 t^n e^t \, dt$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. माना $u = t^n$ और $dv = e^t \, dt$,तब $du = nt^{n-1} \, dt$ और $v = e^t$. $P_n = [t^n e^t]_0^1 - n \int\limits_0^1 t^{n-1} e^t \, dt = e - n P_{n-1}$. इसलिए,$P_{10} = e - 10 P_9$. साथ ही,$P_9 = e - 9 P_8$. $P_{10}$ के समीकरण में $P_9$ का मान रखने पर: $P_{10} = e - 10(e - 9 P_8) = e - 10e + 90 P_8$. $P_{10} = -9e + 90 P_8$. अतः,$P_{10} - 90 P_8 = -9e$.

यदि $n \geq 1$ के लिए,$P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$ है,तो $P_{10} - 90P_8$ का मान ज्ञात कीजिए।

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